신장 트리, 크루스칼, 위상 정렬 알고리즘

신장 트리

" 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프 "

- 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 하다.

- 그래프 알고리즘 문제로 자주 출제되는 문제 유형이다. 

사이클이 존재하면 조건 성립 X

크루스칼 알고리즘, Greedy

" 다양한 문제 상황에서 가능한 한 최소한의 비용으로 신장 트리를 찾아야 할 때가 있다. "

예시)
N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우
2개의 도시 A, B를 선택했을 때, 도시 A에서 도시 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치하고자 한다.
모든 도시를 "연결"할 때, 최소한의 비용으로 연결하려면 어떤 알고리즘을 이용해야 할까?

첫 번째 경우의 수가 최소 비용, 최소 신장 트리 알고리즘 = 크루스칼 알고리즘

1. 23 + 13 = 36
2. 23 + 25 = 48
3. 25 + 13 = 38

- 최소 신장 트리는 일종의 트리 자료구조이므로, 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수가 " 노드의 개수 - 1 "과 같다는 특징이 있다.

트리 자료구조는 노드가 N개일 때, 항상 간선의 개수가 N - 1개이다.

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬(= 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로)
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
    - 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
    - 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복

" 두 노드의 부모 노드가 둘다 1이면 이미 동일한 집합에 포함되어 있다 할 수 있다. "

## 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):

    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을때까지 재귀
    if parent[x] != x:

        # 부모 테이블 값 갱신
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])

    return parent[x]

## 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)

    if a < b:
        parent[b] = a

    else:
        parent[a] = b

import sys

input = sys.stdin.readline

v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

## 최종 비용을 담을 변수
res = 0

## 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i

## 그래프의 모든 간선 정보만 따로 빼내어 정렬 수행
info = [list(map(int, input().split())) for i in range(e)]

## 전체 간선 데이터를 리스트에 담은 뒤에 정렬
sort_info = sorted(info, key= lambda x : x[2])
'''
edges = []
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    edges.append((cost, a, b))

edges.sort()
'''

## 가장 짧은 간선이 선택되고 union 함수 수행
for edge in sort_info:
    a, b, cost = edge
    print(a, b, cost)
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        res += cost

print(parent)
print(res)

<시간 복잡도>

- 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.

why???

크루스칼 알고리즘에서 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업이며, E개의 데이터를 정렬했을 때 시간 복잡도는 O(ElogE)이기 때문이다. 크루스칼 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도보다 작으므로 무시한다.

위상 정렬, Topology Sort

" 방향 그래프(DAG)의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것 "

<DAG : Directed Acyclic Graph, 사이클이 존재하지 않는 방향 그래프>

- 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘

예시)
" 선수과목을 고려한 학습 순서 설정 "
컴퓨터 공학과 커리큘럼에는 "자료구조" 과목을 수강한 뒤에 "알고리즘" 강의를 수강하는 것을 권장한다.
이때 "자료구조" 및 "알고리즘"을 각각의 노드로 표현하고, "자료구조"에서 "알고리즘"으로 이어질 수 있도록 방향성을 갖는 간선을 그릴 수 있다.
다시 말해 그래프상에서 선후 관계가 있다면, 위상 정렬을 수행하여 모든 선후 관계를 지키는 전체 순서를 계산할 수 있다.
"알고리즘" 선수과목 "자료구조"
"고급 알고리즘" 선수과목 "자료구조", "알고리즘"

해당 순서로 강의를 수강

진입차수란???

특정한 노드로 "들어오는" 간선의 개수를 의미한다.
위 이미지에서 "고급 알고리즘" 노드는 2개의 선수과목을 가지고 있다. 다시 말해 그래프상에서 진입차수가 2인 것을 확인할 수 있다.

"""
1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복
    - 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거
    - 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
    
    = 이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
    다시 말해 큐에서 원소가 V번 추출되기 전에 큐가 비어버리면 사이클이 발생 
    사이클이 존재하는 경우 사이클에 포함되어 있는 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문
    다만, 보통 기본적으로 위상 정렬 문제에서는 사이클이 발생하지 않는다고 명시하는 경우가 더 많음
"""

import sys
from collections import deque

input = sys.stdin.readline

v, e = map(int, input().split())

## 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)

## 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]

for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    indegree[b] += 1 # 진입차수 1 증가


## 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    res = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() 

    ## 처음 진입차수가 0인 노드(= i)를 큐에 넣는다
    for i in range(1, v+1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    ## 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        now = q.popleft()
        res.append(now)

        ## 처음 진입 차수가 0인 노드와 연결되어 있는 간선 제거 
        ## = 해당 노드와 연결된 노드 진입차수 -1 
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1

            ## 새롭게 갱신된 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입 
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    for i in res:
        print(i, end=" ")

topology_sort()

<시간 복잡도>

- 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다. 결과적으로

노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 O(V+E)의 시간이 소요되는 것이다.